Matriks dan Dunianya
Bagi beberapa orang mungkin sudah tidak asing lagi dengan yang namanya “Matriks”. Pada pelajaran matematika wajib di sekolah menengah atas (SMA), kita sudah dikenalkan oleh matriks dan hal-hal yang terlibat di dalamnya. Namun, ternyata, matriks ini bukan hanya sebatas bagian dari bidang matematika saja, tetapi lebih luas dari itu, matriks juga dipelajari dalam fisika, komputasi, bahkan ekonomi. Berikut penjelasan lebih lanjut mengenai matriks dan dunianya.
Tentang Matriks
Matriks merupakan susunan bilangan real atau bilangan kompleks (atau elemen-elemen) yang disusun dalam baris dan kolom hingga membentuk jajaran persegi panjang. Baris yang dimaksud di sini adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar (horizontal), sedangkan kolom adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak (vertikal). Banyaknya elemen baris dan kolom dalam suatu matriks sendiri biasanya disebut dengan ordo matriks, yang mana apabila sebuah matriks memiliki m baris dan n kolom, maka matriks tersebut berordo m x n.
Suatu matriks biasanya diberi nama dengan menggunakan huruf kapital, seperti A, B, C, dan lain sebagainya dengan notasi yang digunakan untuk menyatakan matriks adalah tanda kurung ( ) atau kurung siku [ ]. Elemen atau anggota dari suatu matriks sendiri biasa dinyatakan dengan huruf kecil yang berindeks ganda (amn), dengan indeks pertama menyatakan di baris mana anggota itu terletak dan indeks kedua menyatakan di kolom mana anggota itu terletak. Sebagai contoh a12, artinya anggota tersebut terletak pada baris kesatu dan kolom kedua.
Hal ini dapat disingkat dengan menuliskan satu istilah umum saja, seperti
Huruf kecil dengan dua indeks subskrip ini (i,j) mewakili entri. Entri pada baris ke- i dan kolom ke- j dari suatu matriks A kadang-kadang disebut sebagai entri ke-i , j atau ( i , j ), dan biasanya dilambangkan dengan a i , j , atau aij . Notasi alternatif untuk entri tersebut adalah A [ i,j ] dan A i,j . Misalnya, entri (1, 3) dari matriks A dilambangkan dengan a 13 , a 1,3 , A [1,3] atau A1,3. Apabila ukuran matriks adalah m × n , maka entri ( i , j ) yang disebutkan di atas berlaku untuk i = 1, …, m dan j = 1, …, n.
Operasi pada Matriks
Berikut adalah operasi-operasi matematika yang biasa digunakan dalam matriks.
Penjumlahan
Penjumlahan matriks adalah operasi penjumlahan dua matriks dengan menjumlahkan komponen-komponennya yang seletak. Oleh karena itu, syarat dari penjumlahan matriks ini adalah matriks yang dijumlahkan harus memiliki ordo yang sama. Misalnya, matriks P ordo 2 x 2 hanya bisa dijumlahkan dengan matriks lain yang ordonya juga 2 x 2, matriks Q ordo 3 x 3 hanya bisa dijumlahkan dengan matriks lain yang ordonya 3 x 3, dan seterusnya. Operasi penjumlahan matriks sendiri mewakili sifat-sifat berikut.
a. sifat komutatif, yang berlaku A + B = B + A
b. sifat asosiatif, yang berlaku (A + B) + C = A + (B + C)
c. matriks nol, yang berlaku A + 0 = A
d. Jika dijumlahkan dengan lawannya akan menghasilkan matriks nol, yaitu A + (-A) = 0
Sebagai contoh,
Pengurangan Matriks
Konsep pengurangan pada matriks ini sama dengan konsep pada penjumlahan, yang mana pengurangan dilakukan pada elemen matriks yang letaknya sama atau seletak. Oleh karena itu, syarat yang harus dipenuhi pun sama, yaitu memiliki ordo yang sama. Namun, pada pengurangan matriks ini, tidak berlaku sifat-sifat seperti halnya penjumlahan. Sebagai contoh,
Perkalian Matriks
Berbeda dengan penjumlahan dan pengurangan, perkalian matriks ini tidak hanya berlaku pada dua matriks atau lebih yang ordonya sama, tetapi dapat pula dilakukan pada matriks dengan ordo berbeda. Pekalian matriks sendiri pun ada beberapa jenisnya, yaitu perkalian dengan skalar, dot product, dan cross product.
a. Perkalian dengan Skalar
Perkalian matriks dengan skalar dilakukan dengan cara mengalikan setiap elemen matriks dengan skalar tersebut sehingga menghasilkan matriks dengan ordo seperti matriks yang dikalikan.
Pada perkalian dengan skalar ini berlaku sifat:
- n (A + B) = nA + nB
- (m + n) A = mA + nA
- m (nA) = (mn)A
- 1A = A
b. dot product
Dot product ditandai dengan penggunaan simbol • diantara vektor yang dioperasikan. Hasil dari perkalian vektor dengan dot product adalah sebuah skalar (hanya memiliki nilai).
c. cross product
Operasi cross product (perkalian silang) ditandai dengan penggunaan simbol × di antara dua vektor yang dioperasikan. Hasil dari operasi cross product adalah sebuah vektor baru.
Negative Matrix
Negative matrix atau matriks negatif merupakan matriks yang diperoleh dengan mengubah tanda setiap elemen. Misalnya, matriks negatif dari A adalah (-1)A atau dapat ditulis dengan A = -(A)
Hadamard Product
Dalam matematika, hadamard product atau perkalian hadamard adalah operasi bineryang mengambil dua matriks berdimensi sama dan mengembalikan matriks berdimensi sama, di mana elemen-elemen yang bersesuaian dikalikan.
Berikut contoh hasil perkalian hadamard dari dua matriks 2 x 3.
Invers Matriks
Invers matriks adalah kebalikan (invers) dari sebuah matriks yang apabila matriks tersebut dikalikan dengan inversnya, akan menjadi matriks identitas yang elemen pada diagonal utamanya adalah 1 dan elemen lainnya adalah 0.
Sebagai contoh, berikut penyelesaian invers untuk matriks 2 x 2
Sementara itu, pada matriks 3 x 3, Adjoin (Adj) dapat dicari dengen menggunakan rumus sebagai berikut.
Dengan determinannya didapatkan dengan cara sebagai berikut.
Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks
Dengan operasi-operasi matriks yang telah dijelaskan sebelumnya, matriks ini dapat digunakan untuk menyelesaikan sebuah persamaan linear. Persamaan linear sendiri merupakan suatu persamaan yang memiliki variabel dengan pangkat tertinggi sama dengan 1. Penyelesaiannya dapat dilakukan dengan menggunakan invers ataupun determinan.
Berikut contoh penyelesain persamaan linear dua variabel dengan invers matriks.
Berikut contoh penyelesaian persamaan linear tiga variabel dengan determinan matriks.
Implementasi Matriks dalam Pemasalahan Fisika
Penggunaan matriks sebagai vektor dan penyelesaian untuk sistem persamaan linear ini membuat matriks banyak digunakan dalam bidang fisika. Berikut beberapa contoh penggunaan matriks dalam penggunaan perkalian vektor dalam fisika.
- Momentum sudut suatu partikel, p = mv dengan p dan v adalah sebuah vek, momentum
- Momentum Gaya, M= r x F dengan M adalah momen gaya, r adalah vektor posisi, dan F adalah vektor gaya
- Kecepatan Sudut, v = ω x r
Selain itu, matriks ini juga biasa digunakan dalam mekanika fluida dan medan elektromagnetik dengan memanfaatkan operasi perkalian dot product dan cross product sehingga terbentuk operasi matriks yang lebih kompleks seperti divergensi.
Demikianlah akhir dari artikel terkait matriks dan seluruh hal yang terlibat di dalamnya. Semoga apa yang dituliskan dapat bermanfaat bagi para pembaca.